Ingeniería civil. Resistencia. Vigas. Cálculos

Como empresa consultora se nos ha encargado verificar una estantería que será usada para colocar sobre ella una escultura, todo esto enmarcado en la celebración del bicentenario de independencia de nuestro país Chile. Para verificar que la estantería soportará la carga de 1.5 Kg,, que es lo que esa la escultura, sobre una estantería de madera, hemos desarrollado un modelo experimental, a través de una viga de madera con un apoyo simple y otro fijo, que representa la situación real presentada.
El análisis de la viga se realizará mediante el método de doble integración y método matricial, este último se ejecutará con el programa computacional SAP 2000.
Con todos los datos que la galería de arte ha expuesto a nuestra empresa y con los valores obtenidos experimental y matemáticamente calculados, estamos en disposición de decir que efectivamente, se podría colocar una escultura del peso indicado sobre la estantería que la galería posee.


INTRODUCCIÓN

En este informe presentaremos la resolución experimental y matemática, a través del método de doble integración y matricial, este último ejecutado computacionalmente con sap 2000.


MOTIVACIÓN

Como empresa consultora hemos aceptado el análisis estructural de una estantería de madera. Debemos verificar que el peso que ésta soportará será lo suficiente para que no colapse.
Para ello se diseñó un modelo experimental y a partir de éste se desarrolló distintos métodos matemáticos que verificaran lo obtenido experimentalmente.


OBJETIVOS

Los objetivos que se plantean es el de verificar la resistencia de una viga de madrea, tanto experimental como teórico.


DESARROLLO TEÓRICO

Modelo teórico basado en el modelo experimental:
1.5 Kg
50 cm. 50 cm.


DATOS EXPERIMENTALES

L = 100 cm. 1.4 cm.
P = 1.5 Kg.
Sección = 3.6 cm2
Deformación máxima (x = 50 cm.) = 1 cm. 1.4 cm.
Deformación (x = 25 cm) = 8 cm.
Deformación (x = 75 cm) = 8 cm.
Inercia = h b3 / 12 = 0.320 cm4
 max = P L3 / (48 EI) E = 97656 Kg/cm2


DESARROLLO TEÓRICO

1.5 Kg.
b
Ha
Va Vc
i) Cálculo de reacciones
” Fy = 0 Va +Vb = P
Va +Vb = 1.5 Kg.
” Ma = 0 (50 * 1.5) = Vc*100 Vc = Va = 0.75 Kg.
ii) Calculo de esfuerzos por tramos :
Tramo 1: 0 ” x < 50
X
Tramo 2: 0 " x < 50
X


ANÁLISIS DE TRAMOS POR DOBLE INTEGRACIÓN

Tramo 1: 0 ” x < 50
M(x) = 0.75 x
EI “2Y = 0.75 x /”
“X2
EI 1 = 0.375 x2 + C1 /”
EI Y1 = 0.125 x3 + C1x + C2
Tramo 2: 0 ” x < 50
M(x) = - 0.75x + 37.5
EI “2Y = -0.75x + 37.5 /”
“X2
EI 2 = - 0.375 x2 + 37.5 x + C3 /”
EI Y2 = - 0.125 x3 + 18.75 x2 + C3x + C4
i) condiciones de borde
1 (x = 0) ” 0
Y1 (x = 0) = 0
1 (x = 50) = 2 (x = 0)
Y1 (x = 50) = Y2 (x = 0)
2 (x = 100) ” 0
Y2 (x = 100) = 0
Reemplazando las condiciones en la ecuaciones planteadas anteriormente, obtenemos los siguientes resultados:
C1= - 1145.83
C2 = 0
C3 = - 208.33
C4 = - 41666.5
Con estos valores sustituidos en las ecuaciones de giro y flecha se tiene que:
EI 1 = 0.375 x2 - 1145.83
EI Y1 = 0.125 x3 - 1145.83x
EI 2 = - 0.375 x2 + 37.5 x - 208.33
EI Y2 = - 0.125 x3 + 18.75 x2 - 208.33 x - 41666.5
Conociendo E e I se tiene que:
1 = 1.2 E-5 x2 - 0.037
Y1 = 4E-6 x3 - 0.037 x
2 = - 1.2 E-5 x2 + 0.001 x - 0.007
Y2 = - 4E-6 x3 + 6E-4 x2 - 0.007 x - 1.33
Finalmente tenemos los datos obtenidos teóricamente, los cuales podremos comparar con los obtenidos experimentalmente
Y1 (x = 50) = -1.33 cm.
Y1 (x = 25) = - 0.86 cm.
Y2 (x = 0) = -1.33 cm.
Y2 (x = 25) = -0.86 cm.
1 (x = 0) = - 0.037